Spoiler update solution
.
The least common denominator is 6xy.
1 2 + 1 x − 1 y − 1 x y 1 3 − 1 x − 1 y + 1 x y = \displaystyle \dfrac{\dfrac{1}{2} \ + \ \dfrac{1}{x} \ - \ \dfrac{1}{y} \ - \dfrac{1}{xy}}{\dfrac{1}{3} \ -\dfrac{1}{x} \ - \dfrac{1}{y} \ + \ \dfrac{1}{xy}} \ \ = 3 1 − x 1 − y 1 + x y 1 2 1 + x 1 − y 1 − x y 1 = ( 6 x y 1 ) 1 2 + ( 6 x y 1 ) 1 x − ( 6 x y 1 ) 1 y − ( 6 x y 1 ) 1 x y ( 6 x y 1 ) 1 3 − ( 6 x y 1 ) 1 x − ( 6 x y 1 ) 1 y + ( 6 x y 1 ) 1 x y = \displaystyle \dfrac{\bigg(\dfrac{6xy}{1}\bigg)\dfrac{1}{2} \ + \ \bigg(\dfrac{6xy}{1}\bigg)\dfrac{1}{x} \ - \ \bigg(\dfrac{6xy}{1}\bigg)\dfrac{1}{y} \ - \bigg(\dfrac{6xy}{1}\bigg)\dfrac{1}{xy}}{ \bigg( \dfrac{6xy}{1} \bigg) \dfrac{1}{3} \ - \bigg(\dfrac{6xy}{1}\bigg)\dfrac{1}{x} \ - \bigg(\dfrac{6xy}{1}\bigg)\dfrac{1}{y} \ + \ \bigg(\dfrac{6xy}{1}\bigg)\dfrac{1}{xy}} \ \ = ( 1 6 x y ) 3 1 − ( 1 6 x y ) x 1 − ( 1 6 x y ) y 1 + ( 1 6 x y ) x y 1 ( 1 6 x y ) 2 1 + ( 1 6 x y ) x 1 − ( 1 6 x y ) y 1 − ( 1 6 x y ) x y 1 = 3 x y + 6 y − 6 x − 6 2 x y − 6 y − 6 x + 6 \displaystyle \boxed{ \ \ \dfrac{3xy \ + \ 6y \ - \ 6x \ - 6}{2xy \ - \ 6y \ - \ 6x \ + \ 6} \ \ } 2 x y − 6 y − 6 x + 6 3 x y + 6 y − 6 x − 6
Last edited: Nov 25, 2012
