Question

C

cole92

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Mar 30, 2006
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Ok well I'm sorry if this isn't Geometry, but I got this question from that class so I put it here. Anyway it is a bonus question from my class and I need the points:

Using the numbers 1 through 16 create a 4 by 4 square where the two diagonals, each horizontal row, and each vertical row all sum up to 34.

You can only use each number once. I think this is pretty clear, but if not I'll try to explain more. I tried to find a pattern for where to place each number but I couldn't find anything. PLEASE HELP...it would be GREATLY appreciated.
Thank you in advance.
 
Hello, cole92!

This is a classic problem . . . solved in the 1500's (maybe earlier).

Using the numbers 1 through 16 create a 4 by 4 square where
the two diagonals, each horizontal row, and each vertical row all sum up to 34.
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There are a number of solutions, but one is easily memorized.
Here's the recipe . . .

Draw a 4-by-4 grid (of course!).

Consider the cells on the two diagonals.
Start at the upper-left and reading across, write the numbers from 1 to 16
. . but only in the cells on the two diagonals.
Code: 
      *----*----*----*----*
      |  1 |    |    |  4 |
      *----*----*----*----*
      |    |  6 |  7 |    |
      *----*----*----*----*
      |    | 10 | 11 |    |
      *----*----*----*----*
      | 13 |    |    | 16 |
      *----*----*----*----*

Now start at the lower-right and reading left/up,
. . write the numbers 1 to 16 in the empty cells.

The final magic square looks like this:
Code: 
      *----*----*----*----*
      |  1 | 15 | 14 |  4 |
      *----*----*----*----*
      | 12 |  6 |  7 |  9 |
      *----*----*----*----*
      |  8 | 10 | 11 |  5 |
      *----*----*----*----*
      | 13 |  3 |  2 | 16 |
      *----*----*----*----*


~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

This particular solution has many 34's in symmetric patterns.


The four corners and the central 2-by-2 square.
Code: 
      *----*----*----*----* . . . *----*----*----*----*
      |  1 |    |    |  4 | . . . |    |    |    |    |
      *----*----*----*----* . . . *----*----*----*----*
      |    |    |    |    | . . . |    |  6 |  7 |    |
      *----*----*----*----* . . . *----*----*----*----*
      |    |    |    |    | . . . |    | 10 | 11 |    |
      *----*----*----*----* . . . *----*----*----*----*
      | 13 |    |    | 16 | . . . |    |    |    |    |
      *----*----*----*----* . . . *----*----*----*----*

The 2-by-2 sqiares in each corner . . .
Code: 
      *----*----*----*----* . . . *----*----*----*----*
      |  1 | 15 |    |    | . . . |    |    | 14 |  4 |
      *----*----*----*----* . . . *----*----*----*----*
      | 12 |  6 |    |    | . . . |    |    |  7 |  9 |
      *----*----*----*----* . . . *----*----*----*----*
      |    |    |    |    | . . . |    |    |    |    |
      *----*----*----*----* . . . *----*----*----*----*
      |    |    |    |    | . . . |    |    |    |    |
      *----*----*----*----* . . . *----*----*----*----*

      *----*----*----*----* . . . *----*----*----*----*
      |    |    |    |    | . . . |    |    |    |    |
      *----*----*----*----* . . . *----*----*----*----*
      |    |    |    |    | . . . |    |    |    |    |
      *----*----*----*----* . . . *----*----*----*----*
      |  8 | 10 |    |    | . . . |    |    | 11 |  5 |
      *----*----*----*----* . . . *----*----*----*----*
      | 13 |  3 |    |    | . . . |    |    |  2 | 16 |
      *----*----*----*----* . . . *----*----*----*----*

These four "rectangles" . . .
Code: 
      *----*----*----*----* . . . *----*----*----*----*
      |    | 15 | 14 |    | . . . |    |    |    |    |
      *----*----*----*----* . . . *----*----*----*----*
      |    |    |    |    | . . . | 12 |    |    |  9 |
      *----*----*----*----* . . . *----*----*----*----*
      |    |    |    |    | . . . |  8 |    |    |  5 |
      *----*----*----*----* . . . *----*----*----*----*
      |    |  3 |  2 |    | . . . |    |    |    |    |
      *----*----*----*----* . . . *----*----*----*----*


      *----*----*----*----* . . . *----*----*----*----*
      |    | 15 |    |    | . . . |    |    | 14 |    |
      *----*----*----*----* . . . *----*----*----*----*
      | 12 |    |    |    | . . . |    |    |    |  9 |
      *----*----*----*----* . . . *----*----*----*----*
      |    |    |    |  5 | . . . |  8 |    |    |    |
      *----*----*----*----* . . . *----*----*----*----*
      |    |    |  2 |    | . . . |    |  3 |    |    |
      *----*----*----*----* . . . *----*----*----*----*

And these two "squares" . . .
Code: 
      *----*----*----*----* . . . *----*----*----*----*
      |    | 15 |    |    | . . . |    |    | 14 |    |
      *----*----*----*----* . . . *----*----*----*----*
      |    |    |    |  9 | . . . | 12 |    |    |    |
      *----*----*----*----* . . . *----*----*----*----*
      |  8 |    |    |    | . . . |    |    |    |  5 |
      *----*----*----*----* . . . *----*----*----*----*
      |    |    |  2 |    | . . . |    |  3 |    |    |
      *----*----*----*----* . . . *----*----*----*----*
 
Thank you both VERY much. It really helped a lot. Thanks again : )
 
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