In an assessment task on REML and manual matrix manipulation I need to write a mathematical proof. The question gives the final answer and a few rules I've attached as an image to make it easier to read. The following image is what I have taken from the lecture notes and is what I am supposed to use to obtain the proof.
[FONT=MathJax_Main]Prove that [/FONT][FONT=MathJax_Math]v[/FONT][FONT=MathJax_Math]a[/FONT][FONT=MathJax_Math]r[/FONT][FONT=MathJax_Size2]([/FONT][FONT=MathJax_Math]β[/FONT][FONT=MathJax_Size1]ˆ[/FONT][FONT=MathJax_Size2])[/FONT][FONT=MathJax_Main]=[/FONT][FONT=MathJax_Size1]([/FONT][FONT=MathJax_Math]X[/FONT][FONT=MathJax_Main]′[/FONT][FONT=MathJax_Main]Σ[/FONT][FONT=MathJax_Main]−[/FONT][FONT=MathJax_Main]1[/FONT][FONT=MathJax_Math]X[/FONT][FONT=MathJax_Size1])[/FONT][FONT=MathJax_Main]−[/FONT][FONT=MathJax_Main]1[/FONT][FONT=MathJax_Main].[/FONT]
[FONT=MathJax_Main]If [/FONT][FONT=MathJax_Math]β[/FONT][FONT=MathJax_Size1]ˆ[/FONT][FONT=MathJax_Main]=[/FONT][FONT=MathJax_Size2]([/FONT][FONT=MathJax_Math]X[/FONT][FONT=MathJax_Main]′[/FONT][FONT=MathJax_Main]Σ[/FONT][FONT=MathJax_Main]^[/FONT][FONT=MathJax_Main]−[/FONT][FONT=MathJax_Main]1[/FONT][FONT=MathJax_Math]X[/FONT][FONT=MathJax_Size2])[/FONT][FONT=MathJax_Main]−[/FONT][FONT=MathJax_Main]1[/FONT][FONT=MathJax_Math]X[/FONT][FONT=MathJax_Main]′[/FONT][FONT=MathJax_Main]Σ[/FONT][FONT=MathJax_Main]^[/FONT][FONT=MathJax_Main]−[/FONT][FONT=MathJax_Main]1[/FONT][FONT=MathJax_Math]y[/FONT][FONT=MathJax_Main]=[/FONT][FONT=MathJax_Math]A[/FONT][FONT=MathJax_Math]y[/FONT][FONT=MathJax_Main] and [/FONT][FONT=MathJax_Math]v[/FONT][FONT=MathJax_Math]a[/FONT][FONT=MathJax_Math]r[/FONT][FONT=MathJax_Main]([/FONT][FONT=MathJax_Math]A[/FONT][FONT=MathJax_Math]y[/FONT][FONT=MathJax_Main])[/FONT][FONT=MathJax_Main]=[/FONT][FONT=MathJax_Math]A[/FONT][FONT=MathJax_Main]Σ[/FONT][FONT=MathJax_Math]A[/FONT][FONT=MathJax_Main]′[/FONT][FONT=MathJax_Main],[/FONT][FONT=MathJax_Main] where [/FONT][FONT=MathJax_Math]v[/FONT][FONT=MathJax_Math]a[/FONT][FONT=MathJax_Math]r[/FONT][FONT=MathJax_Main]([/FONT][FONT=MathJax_Math]y[/FONT][FONT=MathJax_Main])[/FONT][FONT=MathJax_Main]=[/FONT][FONT=MathJax_Main]Σ[/FONT]
[FONT=MathJax_Main]Hence,[/FONT]
. . . . .[FONT=MathJax_Math]v[/FONT][FONT=MathJax_Math]a[/FONT][FONT=MathJax_Math]r[/FONT][FONT=MathJax_Main]([/FONT][FONT=MathJax_Math]β[/FONT][FONT=MathJax_Main]^[/FONT][FONT=MathJax_Main])[/FONT][FONT=MathJax_Main]=[/FONT][FONT=MathJax_Math]v[/FONT][FONT=MathJax_Math]a[/FONT][FONT=MathJax_Math]r[/FONT][FONT=MathJax_Size1][[/FONT][FONT=MathJax_Main]([/FONT][FONT=MathJax_Math]X[/FONT][FONT=MathJax_Main]′[/FONT][FONT=MathJax_Math]X[/FONT][FONT=MathJax_Main])[/FONT][FONT=MathJax_Main]−[/FONT][FONT=MathJax_Main]1[/FONT][FONT=MathJax_Math]X[/FONT][FONT=MathJax_Main]′[/FONT][FONT=MathJax_Math]y[/FONT][FONT=MathJax_Size1]][/FONT][FONT=MathJax_Main]=[/FONT][FONT=MathJax_Main]([/FONT][FONT=MathJax_Math]X[/FONT][FONT=MathJax_Main]′[/FONT][FONT=MathJax_Math]X[/FONT][FONT=MathJax_Main])[/FONT][FONT=MathJax_Main]−[/FONT][FONT=MathJax_Main]1[/FONT][FONT=MathJax_Math]X[/FONT][FONT=MathJax_Main]′[/FONT][FONT=MathJax_Math]v[/FONT][FONT=MathJax_Math]a[/FONT][FONT=MathJax_Math]r[/FONT][FONT=MathJax_Main]([/FONT][FONT=MathJax_Math]y[/FONT][FONT=MathJax_Main])[/FONT][FONT=MathJax_Size1][[/FONT][FONT=MathJax_Main]([/FONT][FONT=MathJax_Math]X[/FONT][FONT=MathJax_Main]′[/FONT][FONT=MathJax_Math]X[/FONT][FONT=MathJax_Main])[/FONT][FONT=MathJax_Main]−[/FONT][FONT=MathJax_Main]1[/FONT][FONT=MathJax_Math]X[/FONT][FONT=MathJax_Main]′[/FONT][FONT=MathJax_Size1]][/FONT][FONT=MathJax_Main]′[/FONT][FONT=MathJax_Main]=[/FONT][FONT=MathJax_Main]([/FONT][FONT=MathJax_Math]X[/FONT][FONT=MathJax_Main]′[/FONT][FONT=MathJax_Math]X[/FONT][FONT=MathJax_Main])[/FONT][FONT=MathJax_Main]−[/FONT][FONT=MathJax_Main]1[/FONT][FONT=MathJax_Math]X[/FONT][FONT=MathJax_Main]′[/FONT][FONT=MathJax_Math]v[/FONT][FONT=MathJax_Math]a[/FONT][FONT=MathJax_Math]r[/FONT][FONT=MathJax_Main]([/FONT][FONT=MathJax_Math]X[/FONT][FONT=MathJax_Math]β[/FONT][FONT=MathJax_Main]+[/FONT][FONT=MathJax_Math]ϵ[/FONT][FONT=MathJax_Main])[/FONT][FONT=MathJax_Math]X[/FONT][FONT=MathJax_Main]([/FONT][FONT=MathJax_Math]X[/FONT][FONT=MathJax_Main]′[/FONT][FONT=MathJax_Math]X[/FONT][FONT=MathJax_Main])[/FONT][FONT=MathJax_Main]−[/FONT][FONT=MathJax_Main]1[/FONT][FONT=MathJax_Main]=[/FONT][FONT=MathJax_Main]([/FONT][FONT=MathJax_Math]X[/FONT][FONT=MathJax_Main]′[/FONT][FONT=MathJax_Math]X[/FONT][FONT=MathJax_Main])[/FONT][FONT=MathJax_Main]−[/FONT][FONT=MathJax_Main]1[/FONT][FONT=MathJax_Math]X[/FONT][FONT=MathJax_Main]′[/FONT][FONT=MathJax_Math]v[/FONT][FONT=MathJax_Math]a[/FONT][FONT=MathJax_Math]r[/FONT][FONT=MathJax_Main]([/FONT][FONT=MathJax_Math]ϵ[/FONT][FONT=MathJax_Main])[/FONT][FONT=MathJax_Math]X[/FONT][FONT=MathJax_Main]([/FONT][FONT=MathJax_Math]X[/FONT][FONT=MathJax_Main]′[/FONT][FONT=MathJax_Math]X[/FONT][FONT=MathJax_Main])[/FONT][FONT=MathJax_Main]−[/FONT][FONT=MathJax_Main]1[/FONT][FONT=MathJax_Main]=[/FONT][FONT=MathJax_Main]([/FONT][FONT=MathJax_Math]X[/FONT][FONT=MathJax_Main]′[/FONT][FONT=MathJax_Math]X[/FONT][FONT=MathJax_Main])[/FONT][FONT=MathJax_Main]−[/FONT][FONT=MathJax_Main]1[/FONT][FONT=MathJax_Math]X[/FONT][FONT=MathJax_Main]′[/FONT][FONT=MathJax_Math]σ[/FONT][FONT=MathJax_Main]2[/FONT][FONT=MathJax_Math]I[/FONT][FONT=MathJax_Math]n[/FONT][FONT=MathJax_Math]X[/FONT][FONT=MathJax_Main]([/FONT][FONT=MathJax_Math]X[/FONT][FONT=MathJax_Main]′[/FONT][FONT=MathJax_Math]X[/FONT][FONT=MathJax_Main])[/FONT][FONT=MathJax_Main]−[/FONT][FONT=MathJax_Main]1[/FONT][FONT=MathJax_Main]=[/FONT][FONT=MathJax_Math]σ[/FONT][FONT=MathJax_Main]2[/FONT][FONT=MathJax_Main]([/FONT][FONT=MathJax_Math]X[/FONT][FONT=MathJax_Main]′[/FONT][FONT=MathJax_Math]X[/FONT][FONT=MathJax_Main])[/FONT][FONT=MathJax_Main]−[/FONT][FONT=MathJax_Main]1[/FONT][FONT=MathJax_Math]X[/FONT][FONT=MathJax_Main]′[/FONT][FONT=MathJax_Math]X[/FONT][FONT=MathJax_Main]([/FONT][FONT=MathJax_Math]X[/FONT][FONT=MathJax_Main]′[/FONT][FONT=MathJax_Math]X[/FONT][FONT=MathJax_Main])[/FONT][FONT=MathJax_Main]−[/FONT][FONT=MathJax_Main]1[/FONT][FONT=MathJax_Main]=[/FONT][FONT=MathJax_Math]σ[/FONT][FONT=MathJax_Main]2[/FONT][FONT=MathJax_Main]([/FONT][FONT=MathJax_Math]X[/FONT][FONT=MathJax_Main]′[/FONT][FONT=MathJax_Math]X[/FONT][FONT=MathJax_Main])[/FONT][FONT=MathJax_Main]−[/FONT][FONT=MathJax_Main]1[/FONT]
Im assuming my biggest problem is likely a limited understanding of how the operations work when I'm trying to substitute E into the equations where var and sigma sqrd are featured.
Any help would be greatly appreciated.
[FONT=MathJax_Main]Prove that [/FONT][FONT=MathJax_Math]v[/FONT][FONT=MathJax_Math]a[/FONT][FONT=MathJax_Math]r[/FONT][FONT=MathJax_Size2]([/FONT][FONT=MathJax_Math]β[/FONT][FONT=MathJax_Size1]ˆ[/FONT][FONT=MathJax_Size2])[/FONT][FONT=MathJax_Main]=[/FONT][FONT=MathJax_Size1]([/FONT][FONT=MathJax_Math]X[/FONT][FONT=MathJax_Main]′[/FONT][FONT=MathJax_Main]Σ[/FONT][FONT=MathJax_Main]−[/FONT][FONT=MathJax_Main]1[/FONT][FONT=MathJax_Math]X[/FONT][FONT=MathJax_Size1])[/FONT][FONT=MathJax_Main]−[/FONT][FONT=MathJax_Main]1[/FONT][FONT=MathJax_Main].[/FONT]
[FONT=MathJax_Main]If [/FONT][FONT=MathJax_Math]β[/FONT][FONT=MathJax_Size1]ˆ[/FONT][FONT=MathJax_Main]=[/FONT][FONT=MathJax_Size2]([/FONT][FONT=MathJax_Math]X[/FONT][FONT=MathJax_Main]′[/FONT][FONT=MathJax_Main]Σ[/FONT][FONT=MathJax_Main]^[/FONT][FONT=MathJax_Main]−[/FONT][FONT=MathJax_Main]1[/FONT][FONT=MathJax_Math]X[/FONT][FONT=MathJax_Size2])[/FONT][FONT=MathJax_Main]−[/FONT][FONT=MathJax_Main]1[/FONT][FONT=MathJax_Math]X[/FONT][FONT=MathJax_Main]′[/FONT][FONT=MathJax_Main]Σ[/FONT][FONT=MathJax_Main]^[/FONT][FONT=MathJax_Main]−[/FONT][FONT=MathJax_Main]1[/FONT][FONT=MathJax_Math]y[/FONT][FONT=MathJax_Main]=[/FONT][FONT=MathJax_Math]A[/FONT][FONT=MathJax_Math]y[/FONT][FONT=MathJax_Main] and [/FONT][FONT=MathJax_Math]v[/FONT][FONT=MathJax_Math]a[/FONT][FONT=MathJax_Math]r[/FONT][FONT=MathJax_Main]([/FONT][FONT=MathJax_Math]A[/FONT][FONT=MathJax_Math]y[/FONT][FONT=MathJax_Main])[/FONT][FONT=MathJax_Main]=[/FONT][FONT=MathJax_Math]A[/FONT][FONT=MathJax_Main]Σ[/FONT][FONT=MathJax_Math]A[/FONT][FONT=MathJax_Main]′[/FONT][FONT=MathJax_Main],[/FONT][FONT=MathJax_Main] where [/FONT][FONT=MathJax_Math]v[/FONT][FONT=MathJax_Math]a[/FONT][FONT=MathJax_Math]r[/FONT][FONT=MathJax_Main]([/FONT][FONT=MathJax_Math]y[/FONT][FONT=MathJax_Main])[/FONT][FONT=MathJax_Main]=[/FONT][FONT=MathJax_Main]Σ[/FONT]
[FONT=MathJax_Main]Hence,[/FONT]
. . . . .[FONT=MathJax_Math]v[/FONT][FONT=MathJax_Math]a[/FONT][FONT=MathJax_Math]r[/FONT][FONT=MathJax_Main]([/FONT][FONT=MathJax_Math]β[/FONT][FONT=MathJax_Main]^[/FONT][FONT=MathJax_Main])[/FONT][FONT=MathJax_Main]=[/FONT][FONT=MathJax_Math]v[/FONT][FONT=MathJax_Math]a[/FONT][FONT=MathJax_Math]r[/FONT][FONT=MathJax_Size1][[/FONT][FONT=MathJax_Main]([/FONT][FONT=MathJax_Math]X[/FONT][FONT=MathJax_Main]′[/FONT][FONT=MathJax_Math]X[/FONT][FONT=MathJax_Main])[/FONT][FONT=MathJax_Main]−[/FONT][FONT=MathJax_Main]1[/FONT][FONT=MathJax_Math]X[/FONT][FONT=MathJax_Main]′[/FONT][FONT=MathJax_Math]y[/FONT][FONT=MathJax_Size1]][/FONT][FONT=MathJax_Main]=[/FONT][FONT=MathJax_Main]([/FONT][FONT=MathJax_Math]X[/FONT][FONT=MathJax_Main]′[/FONT][FONT=MathJax_Math]X[/FONT][FONT=MathJax_Main])[/FONT][FONT=MathJax_Main]−[/FONT][FONT=MathJax_Main]1[/FONT][FONT=MathJax_Math]X[/FONT][FONT=MathJax_Main]′[/FONT][FONT=MathJax_Math]v[/FONT][FONT=MathJax_Math]a[/FONT][FONT=MathJax_Math]r[/FONT][FONT=MathJax_Main]([/FONT][FONT=MathJax_Math]y[/FONT][FONT=MathJax_Main])[/FONT][FONT=MathJax_Size1][[/FONT][FONT=MathJax_Main]([/FONT][FONT=MathJax_Math]X[/FONT][FONT=MathJax_Main]′[/FONT][FONT=MathJax_Math]X[/FONT][FONT=MathJax_Main])[/FONT][FONT=MathJax_Main]−[/FONT][FONT=MathJax_Main]1[/FONT][FONT=MathJax_Math]X[/FONT][FONT=MathJax_Main]′[/FONT][FONT=MathJax_Size1]][/FONT][FONT=MathJax_Main]′[/FONT][FONT=MathJax_Main]=[/FONT][FONT=MathJax_Main]([/FONT][FONT=MathJax_Math]X[/FONT][FONT=MathJax_Main]′[/FONT][FONT=MathJax_Math]X[/FONT][FONT=MathJax_Main])[/FONT][FONT=MathJax_Main]−[/FONT][FONT=MathJax_Main]1[/FONT][FONT=MathJax_Math]X[/FONT][FONT=MathJax_Main]′[/FONT][FONT=MathJax_Math]v[/FONT][FONT=MathJax_Math]a[/FONT][FONT=MathJax_Math]r[/FONT][FONT=MathJax_Main]([/FONT][FONT=MathJax_Math]X[/FONT][FONT=MathJax_Math]β[/FONT][FONT=MathJax_Main]+[/FONT][FONT=MathJax_Math]ϵ[/FONT][FONT=MathJax_Main])[/FONT][FONT=MathJax_Math]X[/FONT][FONT=MathJax_Main]([/FONT][FONT=MathJax_Math]X[/FONT][FONT=MathJax_Main]′[/FONT][FONT=MathJax_Math]X[/FONT][FONT=MathJax_Main])[/FONT][FONT=MathJax_Main]−[/FONT][FONT=MathJax_Main]1[/FONT][FONT=MathJax_Main]=[/FONT][FONT=MathJax_Main]([/FONT][FONT=MathJax_Math]X[/FONT][FONT=MathJax_Main]′[/FONT][FONT=MathJax_Math]X[/FONT][FONT=MathJax_Main])[/FONT][FONT=MathJax_Main]−[/FONT][FONT=MathJax_Main]1[/FONT][FONT=MathJax_Math]X[/FONT][FONT=MathJax_Main]′[/FONT][FONT=MathJax_Math]v[/FONT][FONT=MathJax_Math]a[/FONT][FONT=MathJax_Math]r[/FONT][FONT=MathJax_Main]([/FONT][FONT=MathJax_Math]ϵ[/FONT][FONT=MathJax_Main])[/FONT][FONT=MathJax_Math]X[/FONT][FONT=MathJax_Main]([/FONT][FONT=MathJax_Math]X[/FONT][FONT=MathJax_Main]′[/FONT][FONT=MathJax_Math]X[/FONT][FONT=MathJax_Main])[/FONT][FONT=MathJax_Main]−[/FONT][FONT=MathJax_Main]1[/FONT][FONT=MathJax_Main]=[/FONT][FONT=MathJax_Main]([/FONT][FONT=MathJax_Math]X[/FONT][FONT=MathJax_Main]′[/FONT][FONT=MathJax_Math]X[/FONT][FONT=MathJax_Main])[/FONT][FONT=MathJax_Main]−[/FONT][FONT=MathJax_Main]1[/FONT][FONT=MathJax_Math]X[/FONT][FONT=MathJax_Main]′[/FONT][FONT=MathJax_Math]σ[/FONT][FONT=MathJax_Main]2[/FONT][FONT=MathJax_Math]I[/FONT][FONT=MathJax_Math]n[/FONT][FONT=MathJax_Math]X[/FONT][FONT=MathJax_Main]([/FONT][FONT=MathJax_Math]X[/FONT][FONT=MathJax_Main]′[/FONT][FONT=MathJax_Math]X[/FONT][FONT=MathJax_Main])[/FONT][FONT=MathJax_Main]−[/FONT][FONT=MathJax_Main]1[/FONT][FONT=MathJax_Main]=[/FONT][FONT=MathJax_Math]σ[/FONT][FONT=MathJax_Main]2[/FONT][FONT=MathJax_Main]([/FONT][FONT=MathJax_Math]X[/FONT][FONT=MathJax_Main]′[/FONT][FONT=MathJax_Math]X[/FONT][FONT=MathJax_Main])[/FONT][FONT=MathJax_Main]−[/FONT][FONT=MathJax_Main]1[/FONT][FONT=MathJax_Math]X[/FONT][FONT=MathJax_Main]′[/FONT][FONT=MathJax_Math]X[/FONT][FONT=MathJax_Main]([/FONT][FONT=MathJax_Math]X[/FONT][FONT=MathJax_Main]′[/FONT][FONT=MathJax_Math]X[/FONT][FONT=MathJax_Main])[/FONT][FONT=MathJax_Main]−[/FONT][FONT=MathJax_Main]1[/FONT][FONT=MathJax_Main]=[/FONT][FONT=MathJax_Math]σ[/FONT][FONT=MathJax_Main]2[/FONT][FONT=MathJax_Main]([/FONT][FONT=MathJax_Math]X[/FONT][FONT=MathJax_Main]′[/FONT][FONT=MathJax_Math]X[/FONT][FONT=MathJax_Main])[/FONT][FONT=MathJax_Main]−[/FONT][FONT=MathJax_Main]1[/FONT]
Im assuming my biggest problem is likely a limited understanding of how the operations work when I'm trying to substitute E into the equations where var and sigma sqrd are featured.
Any help would be greatly appreciated.