How to solve a set of linear and non -linear equations using Gauss Newton method?

[shwetasingh568]

I have a set of 6 equations in matrix form given by

[FONT=MathJax_Size3][​

[FONT=MathJax_Math-italic]a[/FONT][FONT=MathJax_Main]1[/FONT][FONT=MathJax_Math-italic]a[/FONT][FONT=MathJax_Main]1[/FONT][FONT=MathJax_Main]×[/FONT][FONT=MathJax_Math-italic]b[/FONT][FONT=MathJax_Main]1[/FONT][FONT=MathJax_Math-italic]a[/FONT][FONT=MathJax_Main]2[/FONT][FONT=MathJax_Math-italic]a[/FONT][FONT=MathJax_Main]2[/FONT][FONT=MathJax_Main]×[/FONT][FONT=MathJax_Math-italic]b[/FONT][FONT=MathJax_Main]2[/FONT][FONT=MathJax_Main].[/FONT][FONT=MathJax_Main].[/FONT][FONT=MathJax_Main].[/FONT][FONT=MathJax_Main].[/FONT][FONT=MathJax_Main].[/FONT][FONT=MathJax_Main].[/FONT][FONT=MathJax_Math-italic]a[/FONT][FONT=MathJax_Main]16[/FONT][FONT=MathJax_Math-italic]a[/FONT][FONT=MathJax_Main]16[/FONT][FONT=MathJax_Main]×[/FONT][FONT=MathJax_Math-italic]b[/FONT][FONT=MathJax_Main]16[/FONT][FONT=MathJax_Size3]][/FONT][FONT=MathJax_Main]6[/FONT][FONT=MathJax_Main]×[/FONT][FONT=MathJax_Main]16[/FONT][FONT=MathJax_Main]⋅[/FONT][FONT=MathJax_Size4]⎡[/FONT][FONT=MathJax_Size4]⎣[/FONT][FONT=MathJax_Size4]⎢[/FONT][FONT=MathJax_Size4]⎢[/FONT][FONT=MathJax_Size4]⎢[/FONT][FONT=MathJax_Size4]⎢[/FONT][FONT=MathJax_Size4]⎢[/FONT][FONT=MathJax_Size4]⎢[/FONT][FONT=MathJax_Math-italic]f[/FONT][FONT=MathJax_Main]1[/FONT][FONT=MathJax_Math-italic]f[/FONT][FONT=MathJax_Main]2[/FONT][FONT=MathJax_Main].[/FONT][FONT=MathJax_Main].[/FONT][FONT=MathJax_Math-italic]f[/FONT][FONT=MathJax_Main]16[/FONT][FONT=MathJax_Size4]⎤[/FONT][FONT=MathJax_Size4]⎦[/FONT][FONT=MathJax_Size4]⎥[/FONT][FONT=MathJax_Size4]⎥[/FONT][FONT=MathJax_Size4]⎥[/FONT][FONT=MathJax_Size4]⎥[/FONT][FONT=MathJax_Size4]⎥[/FONT][FONT=MathJax_Size4]⎥[/FONT][FONT=MathJax_Main]16[/FONT][FONT=MathJax_Main]×[/FONT][FONT=MathJax_Main]1[/FONT][FONT=MathJax_Main]=[/FONT][FONT=MathJax_Size4]⎡[/FONT][FONT=MathJax_Size4]⎣[/FONT][FONT=MathJax_Size4]⎢[/FONT][FONT=MathJax_Size4]⎢[/FONT][FONT=MathJax_Size4]⎢[/FONT][FONT=MathJax_Size4]⎢[/FONT][FONT=MathJax_Size4]⎢[/FONT][FONT=MathJax_Size4]⎢[/FONT][FONT=MathJax_Size4]⎢[/FONT][FONT=MathJax_Size4]⎢[/FONT][FONT=MathJax_Main]0[/FONT][FONT=MathJax_Main]0[/FONT][FONT=MathJax_Math-italic]c[/FONT][FONT=MathJax_Math-italic]o[/FONT][FONT=MathJax_Math-italic]n[/FONT][FONT=MathJax_Math-italic]s[/FONT][FONT=MathJax_Math-italic]t[/FONT][FONT=MathJax_Math-italic]a[/FONT][FONT=MathJax_Math-italic]n[/FONT][FONT=MathJax_Math-italic]t[/FONT][FONT=MathJax_Main]0[/FONT][FONT=MathJax_Main]0[/FONT][FONT=MathJax_Main]0[/FONT][FONT=MathJax_Size4]⎤[/FONT][FONT=MathJax_Size4]⎦[/FONT][FONT=MathJax_Size4]⎥[/FONT][FONT=MathJax_Size4]⎥[/FONT][FONT=MathJax_Size4]⎥[/FONT][FONT=MathJax_Size4]⎥[/FONT][FONT=MathJax_Size4]⎥[/FONT][FONT=MathJax_Size4]⎥[/FONT][FONT=MathJax_Size4]⎥[/FONT][FONT=MathJax_Size4]⎥[/FONT][FONT=MathJax_Main]6[/FONT][FONT=MathJax_Main]×[/FONT][FONT=MathJax_Main]1[/FONT][a1a2...a16a1×b1a2×b2...a16×b16]6×16⋅[f1f2..f16]16×1=[00constant000]6×1​

where [FONT=MathJax_Math-italic]a[/FONT][FONT=MathJax_Main]1[/FONT]a1...[FONT=MathJax_Math-italic]a[/FONT][FONT=MathJax_Main]16[/FONT]a16 and [FONT=MathJax_Math-italic]b[/FONT][FONT=MathJax_Main]1[/FONT]b1...[FONT=MathJax_Math-italic]b[/FONT][FONT=MathJax_Main]16[/FONT]b16 are already known 3-Dimensional constant vectors where as [FONT=MathJax_Math-italic]f[/FONT][FONT=MathJax_Main]1[/FONT]f1...[FONT=MathJax_Math-italic]f[/FONT][FONT=MathJax_Main]16[/FONT]f16arescalar values. Additional 16 equations are known which are non linear functions are given as

[FONT=MathJax_Math-italic]g[/FONT][FONT=MathJax_Main]1[/FONT][FONT=MathJax_Main]([/FONT][FONT=MathJax_Math-italic]f[/FONT][FONT=MathJax_Main]1[/FONT][FONT=MathJax_Main],[/FONT][FONT=MathJax_Math-italic]f[/FONT][FONT=MathJax_Main]2[/FONT][FONT=MathJax_Main],[/FONT][FONT=MathJax_Math-italic]x[/FONT][FONT=MathJax_Main]1[/FONT][FONT=MathJax_Main])[/FONT][FONT=MathJax_Main],[/FONT][FONT=MathJax_Math-italic]g[/FONT][FONT=MathJax_Main]2[/FONT][FONT=MathJax_Main]([/FONT][FONT=MathJax_Math-italic]f[/FONT][FONT=MathJax_Main]1[/FONT][FONT=MathJax_Main],[/FONT][FONT=MathJax_Math-italic]f[/FONT][FONT=MathJax_Main]2[/FONT][FONT=MathJax_Main],[/FONT][FONT=MathJax_Math-italic]x[/FONT][FONT=MathJax_Main]1[/FONT][FONT=MathJax_Main])[/FONT]g1(f1,f2,x1),g2(f1,f2,x1)​

[FONT=MathJax_Math-italic]g[/FONT][FONT=MathJax_Main]3[/FONT][FONT=MathJax_Main]([/FONT][FONT=MathJax_Math-italic]f[/FONT][FONT=MathJax_Main]3[/FONT][FONT=MathJax_Main],[/FONT][FONT=MathJax_Math-italic]f[/FONT][FONT=MathJax_Main]4[/FONT][FONT=MathJax_Main],[/FONT][FONT=MathJax_Math-italic]x[/FONT][FONT=MathJax_Main]2[/FONT][FONT=MathJax_Main])[/FONT][FONT=MathJax_Main],[/FONT][FONT=MathJax_Math-italic]g[/FONT][FONT=MathJax_Main]4[/FONT][FONT=MathJax_Main]([/FONT][FONT=MathJax_Math-italic]f[/FONT][FONT=MathJax_Main]3[/FONT][FONT=MathJax_Main],[/FONT][FONT=MathJax_Math-italic]f[/FONT][FONT=MathJax_Main]4[/FONT][FONT=MathJax_Main],[/FONT][FONT=MathJax_Math-italic]x[/FONT][FONT=MathJax_Main]2[/FONT][FONT=MathJax_Main])[/FONT]g3(f3,f4,x2),g4(f3,f4,x2)​

[FONT=MathJax_Main].[/FONT].​

[FONT=MathJax_Main].[/FONT].​

[FONT=MathJax_Math-italic]g[/FONT][FONT=MathJax_Main]15[/FONT][FONT=MathJax_Main]([/FONT][FONT=MathJax_Math-italic]f[/FONT][FONT=MathJax_Main]15[/FONT][FONT=MathJax_Main],[/FONT][FONT=MathJax_Math-italic]f[/FONT][FONT=MathJax_Main]16[/FONT][FONT=MathJax_Main],[/FONT][FONT=MathJax_Math-italic]x[/FONT][FONT=MathJax_Main]8[/FONT][FONT=MathJax_Main])[/FONT][FONT=MathJax_Main],[/FONT][FONT=MathJax_Math-italic]g[/FONT][FONT=MathJax_Main]16[/FONT][FONT=MathJax_Main]([/FONT][FONT=MathJax_Math-italic]f[/FONT][FONT=MathJax_Main]15[/FONT][FONT=MathJax_Main],[/FONT][FONT=MathJax_Math-italic]f[/FONT][FONT=MathJax_Main]16[/FONT][FONT=MathJax_Main],[/FONT][FONT=MathJax_Math-italic]x[/FONT][FONT=MathJax_Main]8[/FONT][FONT=MathJax_Main])[/FONT]g15(f15,f16,x8),g16(f15,f16,x8)​

The value [FONT=MathJax_Math-italic]f[/FONT][FONT=MathJax_Main]1[/FONT]f1...[FONT=MathJax_Math-italic]f[/FONT][FONT=MathJax_Main]16[/FONT]f16 and [FONT=MathJax_Math-italic]x[/FONT][FONT=MathJax_Main]1[/FONT][FONT=MathJax_Main].[/FONT][FONT=MathJax_Main].[/FONT][FONT=MathJax_Main].[/FONT][FONT=MathJax_Main].[/FONT][FONT=MathJax_Main].[/FONT][FONT=MathJax_Math-italic]x[/FONT][FONT=MathJax_Main]8[/FONT]x1.....x8 are to be calculated using Gauss Newton optimization.Since [FONT=MathJax_Math-italic]g[/FONT][FONT=MathJax_Main]1[/FONT][FONT=MathJax_Main].[/FONT][FONT=MathJax_Main].[/FONT][FONT=MathJax_Main].[/FONT][FONT=MathJax_Main].[/FONT][FONT=MathJax_Math-italic]g[/FONT][FONT=MathJax_Main]16[/FONT]g1....g16 are non linear functions having sin/cos terms, they are twice differentiable. But the 6 equation obtained from matrix product are not differentiable twice. On calculating the jacobian using numerical differentiation for these 22 set of equations, the first 6 rows become constant. When I use GN method, the system is not converging.
Is there a way to use GN method with this problem so that the solution converges??
[/FONT]
convergence optimization least-squares newton-raphson

 

[stapel]

I have a set of 6 equations in matrix form given by

[FONT=MathJax_Size3][​

[FONT=MathJax_Math-italic]a[/FONT][FONT=MathJax_Main]1[/FONT][FONT=MathJax_Math-italic]a[/FONT][FONT=MathJax_Main]1[/FONT][FONT=MathJax_Main]×[/FONT][FONT=MathJax_Math-italic]b[/FONT][FONT=MathJax_Main]1[/FONT][FONT=MathJax_Math-italic]a[/FONT][FONT=MathJax_Main]2[/FONT][FONT=MathJax_Math-italic]a[/FONT][FONT=MathJax_Main]2[/FONT][FONT=MathJax_Main]×[/FONT][FONT=MathJax_Math-italic]b[/FONT][FONT=MathJax_Main]2[/FONT][FONT=MathJax_Main].[/FONT][FONT=MathJax_Main].[/FONT][FONT=MathJax_Main].[/FONT][FONT=MathJax_Main].[/FONT][FONT=MathJax_Main].[/FONT][FONT=MathJax_Main].[/FONT][FONT=MathJax_Math-italic]a[/FONT][FONT=MathJax_Main]16[/FONT][FONT=MathJax_Math-italic]a[/FONT][FONT=MathJax_Main]16[/FONT][FONT=MathJax_Main]×[/FONT][FONT=MathJax_Math-italic]b[/FONT][FONT=MathJax_Main]16[/FONT][FONT=MathJax_Size3]][/FONT][FONT=MathJax_Main]6[/FONT][FONT=MathJax_Main]×[/FONT][FONT=MathJax_Main]16[/FONT][FONT=MathJax_Main]⋅[/FONT][FONT=MathJax_Size4]⎡[/FONT][FONT=MathJax_Size4]⎣[/FONT][FONT=MathJax_Size4]⎢[/FONT][FONT=MathJax_Size4]⎢[/FONT][FONT=MathJax_Size4]⎢[/FONT][FONT=MathJax_Size4]⎢[/FONT][FONT=MathJax_Size4]⎢[/FONT][FONT=MathJax_Size4]⎢[/FONT][FONT=MathJax_Math-italic]f[/FONT][FONT=MathJax_Main]1[/FONT][FONT=MathJax_Math-italic]f[/FONT][FONT=MathJax_Main]2[/FONT][FONT=MathJax_Main].[/FONT][FONT=MathJax_Main].[/FONT][FONT=MathJax_Math-italic]f[/FONT][FONT=MathJax_Main]16[/FONT][FONT=MathJax_Size4]⎤[/FONT][FONT=MathJax_Size4]⎦[/FONT][FONT=MathJax_Size4]⎥[/FONT][FONT=MathJax_Size4]⎥[/FONT][FONT=MathJax_Size4]⎥[/FONT][FONT=MathJax_Size4]⎥[/FONT][FONT=MathJax_Size4]⎥[/FONT][FONT=MathJax_Size4]⎥[/FONT][FONT=MathJax_Main]16[/FONT][FONT=MathJax_Main]×[/FONT][FONT=MathJax_Main]1[/FONT][FONT=MathJax_Main]=[/FONT][FONT=MathJax_Size4]⎡[/FONT][FONT=MathJax_Size4]⎣[/FONT][FONT=MathJax_Size4]⎢[/FONT][FONT=MathJax_Size4]⎢[/FONT][FONT=MathJax_Size4]⎢[/FONT][FONT=MathJax_Size4]⎢[/FONT][FONT=MathJax_Size4]⎢[/FONT][FONT=MathJax_Size4]⎢[/FONT][FONT=MathJax_Size4]⎢[/FONT][FONT=MathJax_Size4]⎢[/FONT][FONT=MathJax_Main]0[/FONT][FONT=MathJax_Main]0[/FONT][FONT=MathJax_Math-italic]c[/FONT][FONT=MathJax_Math-italic]o[/FONT][FONT=MathJax_Math-italic]n[/FONT][FONT=MathJax_Math-italic]s[/FONT][FONT=MathJax_Math-italic]t[/FONT][FONT=MathJax_Math-italic]a[/FONT][FONT=MathJax_Math-italic]n[/FONT][FONT=MathJax_Math-italic]t[/FONT][FONT=MathJax_Main]0[/FONT][FONT=MathJax_Main]0[/FONT][FONT=MathJax_Main]0[/FONT][FONT=MathJax_Size4]⎤[/FONT][FONT=MathJax_Size4]⎦[/FONT][FONT=MathJax_Size4]⎥[/FONT][FONT=MathJax_Size4]⎥[/FONT][FONT=MathJax_Size4]⎥[/FONT][FONT=MathJax_Size4]⎥[/FONT][FONT=MathJax_Size4]⎥[/FONT][FONT=MathJax_Size4]⎥[/FONT][FONT=MathJax_Size4]⎥[/FONT][FONT=MathJax_Size4]⎥[/FONT][FONT=MathJax_Main]6[/FONT][FONT=MathJax_Main]×[/FONT][FONT=MathJax_Main]1[/FONT][a1a2...a16a1×b1a2×b2...a16×b16]6×16⋅[f1f2..f16]16×1=[00constant000]6×1​

[/FONT]

Um... what?